Interés Simple e Interés Compuesto

Concepto de Interés
 El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero.
Cuando se pide un préstamo a una fuente financiera típica, se debe pagar un interés por ese préstamo. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un interés por ese dinero.

Componentes del préstamo o depósito con aplicación de cálculo de pago de intereses.
En el manejo tanto de un préstamo como de un depósito con pago de intereses se observan los siguientes componentes:

• El Capital (C). Es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.
• La Tasa (i) de interés. El la proporción porcentual que se paga o se cobra por cada 100 unidades monetarias en concepto de intereses; también llamada tanto por ciento.
• El Tiempo (t). Período durante cual el capital se encuentra se encuentra depositado o prestado y en que genera intereses.

El interés, como costo por el uso de un capital se puede presentar como:
a) Interés Simple
b) Interés Compuesto

Interés Simple
El interés simple se calcula y se paga sobre un capital. Dicho cálculo involucra exclusivamente una fecha de inicio y otra de término  llamada plazo y la forma de cálculo es exclusivamente lineal.

Características de los elementos asociados con su cálculo:
Capital inicial fijo (C). Permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo (t) es el mismo.
El interés (I) no se reinvierte. El interés final total se calcula sobre la misma base de capital y tasa de interés (i)

En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquiera de estos elementos se realiza mediante una "regla de tres simple".

La fórmula para el cálculo de Interés Simple (I)  está construida sobre el principio de la proporcionalidad. Donde el Interés Simple (I) es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t) y a la tasa de interés (i):
Esto se representa con la fórmula siguiente:

Cálculo de Interés Anual
Interés (I) = (Capital) (Tasa i anual) (t). El tiempo está representado en número de años.

Cálculo de Interés mensual 
Interés (I)= (Capital) (Tasa i ajustada a meses)(t en meses)
i mensual = Tasa Anual / 12 meses/año

Cálculo de Interés diario
Interés (I) = (Capital)(Tasa i ajustada a su valor diario)(t en días)
i diaria = Tasa Anual / 365 días/año

Para el cálculo de otros períodos se aplica el mismo procedimiento. Por ejem. 

i semestral (6 meses) = i anual/2;

i tetramestral (4 meses) = i anual/3, 

i trimestral (3 meses) = i anual/4

Cabe aclarar que cuando se habla de una tasa, por ejemplo de 6 % (o cualquier porcentaje), y no se tienen más datos se sobreentiende que es anual. Por lo tanto es importante, antes de calcular cualquier interés, hacer los ajustes en la tasa en caso de que se trate de períodos diferentes (como meses o días).

Por lo tanto, si la tasa se expresa en meses o días, t (tiempo debe expresarse en el el mismo tipo de unidades

Nota: Para efectos de aplicación de las fórmulas de interés recuerde de dividir la tasa porcentual entre 100 esto es lo que llama el "tanto por uno".

Ejemplo 1.

Calcule cuál es el monto de interés simple producido por un capital de $ 25000 durante 4 años a una tasa del 6 % anual

Solución

Paso 1.-  Se aplica la fórmula

Paso 2.- Se convierte la la tasa originalmente en por ciento al tanto por uno (como se muestra en la fórmula), y se obtiene para este ejercicio el valor 0.06

Paso 3.- Se hacen las sustituciones:

I = ($ 25000) (0.06) (4 años) = $ 6000

Interpretación:

A una tasa simple del 6 % anual, en cuatro años, un capital de $ 25,000 genera $ 6,000 de intereses 

La fórmula, está construida con cuatro variables. Se puede despejar cualquier si se conocen las las otras tres.   

Ejemplo 2.

En un período de un año, el Banco Monterrey ha depositado en una cuenta de ahorro, por concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés (i) de la cuenta es del 2 %. ¿Cuál es el saldo base de capital de dicha cuenta?

Solución

Aplicamos la fórmula I = C * i * t

Paso 1.- Para el cálculo la tasa del 2 % se expresa en tanto por uno y se obtiene 0.02

Paso 2.- Se conoce el interés generado y se desconoce el Capital (C). Se modifica la igualdad de la fórmula original, dejando C en un lado de la igualad y las restantes variables conocidas en el otro lado de la igualdad.

Paso 3.- Reeemplazamos los valores y despejamos C

C = $ 970 / (0.02)(1 año)

Interpretación
Un saldo medio de capital (C) debe mantenerse en una cuenta durante un período de un año para generar $ 970 en intereses a una tasa del 2 % anual.

Concepto de Interés Compuesto

El interés compuesto es una forma de cálculo del costo o beneficio que se obtiene sobre un capital inicial (Ci) también llamado "principal" durante un período (t) en el cual el interés que se obtiene en períodos específicos de inversión no se retira, sino que se reinvierte con el capital del período previo, para obtener el capital final (Cf) a esto se le denomina capitalización. Esto puede suceder durante varios períodos con lo que, en al final de cada nuevo período se aprovecha el capital inicial más los intereses acumulados en operaciones sucesivas para obtener un resultado de intereses que es mayor al que se obtiene con las formas de cálculo de interés simple.

Para cada período determinado el cálculo será:

Capital final (Cf) = Capital Inicial (Ci) + Interés (I)

Donde Capital Inicial (Ci)= Capital del período previo + interés calculado sobre el mismo para dicho período.

Los intereses calculados bajo este esquema también se denominan "capitalizados" o "con capitalización", se agregan al capital precedente para el cálculo de intereses del siguiente período.

Ejemplo.

Calcular el monto final (Cf) que se obtiene con depósito inicial (Ci) de $ 1 000 000 a u plazo de 5 años a una tasa de interés (i) del 10 % capitalizable anualmente. 

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma, a su vez, sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo período (en este caso años), y así sucesivamente hasta llegar al monto final de varios períodos acumulados.

Resulta simple, pero hay cálculos repetitivos; para evitarlos o abreviarlos se puede usar la fórmula general del interés compuesto.

Para el cálculo de este tipo de intereses el Capital final (Cf)  se obtiene a partir del Capital inicial (Ci) a una tasa de interés (i) en un tiempo (t). Donde Cf = Capital Inicial+ Intereses capitalizados.

Para lo cual se presenta la siguiente fórmula:

Uso de la Fórmula General del Interés Compuesto

Utilizando los mismos datos del ejemplo desarrollado previamente, se presenta el cálculo con al fórmula general de interés compuesto para determinar el monto final (Cf) de un depósito inicial de $ 1 000 000 a 5 años con un interés del 10 % capitalizable anualmente.

Solución con comentarios.

Se observa que, a partir de un capital inicial de $ 1 000 000 al incorporar los intereses generados por año al capital inicial y los precedentes de cada período se acumuló un 

Capital final (Cf) =  $ 1 610 510

también se puede observar que el resultado es similar al del cuadro desarrollado anteriormente.

Fuentes consultadas

Biblioteca Digital (sin año). Capítulo 3. Interés Compuesto.

http://148.206.107.15/biblioteca_digital/capitulos/426-5813txh.pdf

Martínez M.(2013). Mis apuntes de matemáticas financieras. TESOEM.

http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2013.007.pdf

UNAM (sin año). matemáticas Financieras.Unidad 2. Interés Compuesto.

http://ecampus.fca.unam.mx/ebook/imprimibles/informatica/matematicas_financieras/Unidad_2.pdf