Sistemas de amortización de deuda

Sistemas de Amortización de deuda.

Definición de Amortización
Se puede entender como el retorno de un capital (o principal) el cual está programado para cubrirse en un determinado tiempo y con un determinado costo financiero. Ambos, tanto el capital como los intereses se cubre de acuerdo a un esquema predeterminado, incluidos los ajustes en tasas.

Existen diversos sistemas de amortización de obligaciones crediticias. Los criterios por los cuales se selecciona un sistema sobre otro, está determinado por las políticas de los agentes crediticios y el comportamiento y capacidades de los destinatarios de los recursos.

Las empresas y beneficiarios de los créditos tienen distintas necesidades y su capacidad puede depender de la etapa en que esté la empresa, sus ciclos económicos sus trayectoria y la perspectiva futura que se espera para la misma. Estas últimas estimaciones dependen inclusive de la inyección de los recursos financieros que se programarán y amortizarán.

Para el cálculo de los programas de amortización se pueden manejar varios métodos sencillos o relativamente sencillos usados por las entidades financieras o de origen de los recursos, generalmente sistematizados (de acuerdo a los criterios y normas de las fuentes de capital) y que se determinan en función a las capacidades de pago de los receptores de dichos fondos o créditos, el destino de los financiamientos, las garantías y avales ofrecidos por los solicitantes y receptores de los recursos comprometidos, tiempo de recuperación de los financiamientos, la naturaleza de los proyectos de inversión, las características de los fondos o las instituciones financiadoras (bancos, gobiernos, fundaciones, etc.) y otros factores legales. A continuación se describen los más reconocidos, junto con un ejemplo.

Sistema Alemán (o Italiano, dependiendo de la fuente consultada).

Este sistema es muy sencillo. Bajo este esquema, todos los pagos de capital se mantienen iguales a lo largo de todos los períodos programados, los cuales son similares (teóricamente) en lo que respecta a su extensión de tiempo. 

Para cada período se programa un pago igual de capital junto con los intereses devengados a esa fecha. 

Los intereses se determinan para cada período sobre los saldos insolutos. Por lo que se observa una disminución de los intereses generados y pagados.

Ejemplo.

A continuación se presenta un programa de amortización de acuerdo al Sistema Alemán. Para el caso de un plan de pagos de un crédito $ 120 000 programado para pagarse en 5 períodos, con una tasa de interés de 10 %  calculados sobre el saldo insoluto de capital para cada período.

Sistema Americano.

En el Sistema Americano, al igual que en sistema alemán, se establecen plazos y períodos para el pago de los intereses, estimados sobre el saldo de capital (capital insoluto), pero este se debe cubrir en una sola exhibición junto con el último pago programado de intereses.

Ejemplo.

Utilizando el Sistema de Pago Americano. Se aplican los mismos valores del ejemplo anterior. Capital de $ 120 000, períodos de pago 5, tasa de interés de 10 %. El pago total de capital está programado junto con el último pago de obligaciones por intereses.

Sistema de Pagos Iguales (Sistema Francés).

Este sistema es un poco más complejo que los anteriores ya que requiere determinan por medio de una fórmula de dos fórmulas el monto total de los pagos programados. Los intereses se calculan sobre los saldos insolutos. El monto de abono al capital va variando en función de las disminuciones de los saldos del mismo por los pagos previos. Sin embargo, la suma de los abonos a capital como el pago de los intereses generados y calculados sobre los saldos insolutos es igual en cada período.

Veamos las fórmulas necesarias:

Fórmula 1
El primer procedimiento requiere aplicar la siguiente fórmula:

Donde
K es una constante que se multiplica por el Capital inicial (C) para obtener el "pago igual" para cada período.
i es la tasa de interés ajustada al valor en tiempo de cada período.
n es el número de períodos en que se programarán los pagos.

Pago programado = (K) (C)

Ejemplo.
Si aplicamos los datos de los dos ejemplos previos tendremos que i = 10 %, n = 5
K = 0.26380

Pago Programado =  (0.26380) ($ 120 000) = $ 31 655.7

Fórmula 2
Para este segundo procedimiento la fórmula a aplicar arroja directamente el valor del pago a realizar.
Y la fórmula es la siguiente:

Donde
i es la tasa de interés ajustada al valor en tiempo de cada período.
n es el número de períodos en que se programarán los pagos.
Capital es el saldo inicial del crédito o deuda programada a cubrir.

Al hacer las sustituciones, el Pago Programado = $ 31 655,7

Ya sea que se utilice una fórmula o la otra, se procede a construir un programa de amortización, el cual quedaría como se muestra en la siguiente tabla:

Comentarios finales.

Los sistemas de pago tiene características diferenciadas que los hacen más atractivos o convenientes tanto para la fuente de recursos como para los beneficiarios de los créditos o financiamientos.
El Sistema Alemán (o italiano) puede ser más apropiado para empresa en que la capacidad de pago se presenta más fuerte al principio de los proyectos de inversión involucrados. O bien cuando por razones fiscales o estratégicas se requiere liberar capacidad de pago futura para la empresa receptora de los recursos.

El Sistema Americano, por otra parte se sugiere puede ser seleccionado para empresas que requieren un período de maduración en sus proyectos de inversión o fortalecimiento. Con lo que está predeterminado que requieren, por ejemplo, hasta cierta cantidad de años son solvencia limitada antes de que los mayores beneficios de la inversión se puedan lograr. También puede ser elegido para esquemas de refinanciamiento o reestructuración de deudas en proyectos o empresas con problemas de solvencia en sus flujos de efectivos anuales. 

El Sistema Francés puede ser elegido para proyectos en manos de empresas muy estables o con un perfil de madurez adecuado. También puede ser elegido para la programación de pagos muy semejantes dentro de períodos de tiempo concretos, por ejemplo las mensualidades de un crédito hipotecario o los créditos automotrices. Para el caso de financiamientos a particulares.

La selección final dependerá de las políticas y reglas bancarias y de las capacidades de negociación de los clientes o beneficiarios de los créditos.

Fuentes consultadas

Expansión (sin año). Amortización financiera.
http://www.expansión.com/diccionario-económico/amortizacion-financiera.html

Frías C. (2010). Matemáticas financieras. Sistema de amortización de deudas
http://ucongreso.edu.ar/grado/carreras/2010/mat_financ/TP_07_Sistemas_Amortizacion_Deudas.pdf

Martínez M. (2013). Mis apuntes de matemáticas financieras. TESOEM
http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2013.007.pdf

Interés Simple e Interés Compuesto

Concepto de Interés
 El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero.
Cuando se pide un préstamo a una fuente financiera típica, se debe pagar un interés por ese préstamo. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un interés por ese dinero.

Componentes del préstamo o depósito con aplicación de cálculo de pago de intereses.
En el manejo tanto de un préstamo como de un depósito con pago de intereses se observan los siguientes componentes:

• El Capital (C). Es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.
• La Tasa (i) de interés. El la proporción porcentual que se paga o se cobra por cada 100 unidades monetarias en concepto de intereses; también llamada tanto por ciento.
• El Tiempo (t). Período durante cual el capital se encuentra se encuentra depositado o prestado y en que genera intereses.

El interés, como costo por el uso de un capital se puede presentar como:
a) Interés Simple
b) Interés Compuesto

Interés Simple
El interés simple se calcula y se paga sobre un capital. Dicho cálculo involucra exclusivamente una fecha de inicio y otra de término  llamada plazo y la forma de cálculo es exclusivamente lineal.

Características de los elementos asociados con su cálculo:
Capital inicial fijo (C). Permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo (t) es el mismo.
El interés (I) no se reinvierte. El interés final total se calcula sobre la misma base de capital y tasa de interés (i)

En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquiera de estos elementos se realiza mediante una "regla de tres simple".

La fórmula para el cálculo de Interés Simple (I)  está construida sobre el principio de la proporcionalidad. Donde el Interés Simple (I) es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t) y a la tasa de interés (i):
Esto se representa con la fórmula siguiente:

Cálculo de Interés Anual
Interés (I) = (Capital) (Tasa i anual) (t). El tiempo está representado en número de años.

Cálculo de Interés mensual 
Interés (I)= (Capital) (Tasa i ajustada a meses)(t en meses)
i mensual = Tasa Anual / 12 meses/año

Cálculo de Interés diario
Interés (I) = (Capital)(Tasa i ajustada a su valor diario)(t en días)
i diaria = Tasa Anual / 365 días/año

Para el cálculo de otros períodos se aplica el mismo procedimiento. Por ejem. 

i semestral (6 meses) = i anual/2;

i tetramestral (4 meses) = i anual/3, 

i trimestral (3 meses) = i anual/4

Cabe aclarar que cuando se habla de una tasa, por ejemplo de 6 % (o cualquier porcentaje), y no se tienen más datos se sobreentiende que es anual. Por lo tanto es importante, antes de calcular cualquier interés, hacer los ajustes en la tasa en caso de que se trate de períodos diferentes (como meses o días).

Por lo tanto, si la tasa se expresa en meses o días, t (tiempo debe expresarse en el el mismo tipo de unidades

Nota: Para efectos de aplicación de las fórmulas de interés recuerde de dividir la tasa porcentual entre 100 esto es lo que llama el "tanto por uno".

Ejemplo 1.

Calcule cuál es el monto de interés simple producido por un capital de $ 25000 durante 4 años a una tasa del 6 % anual

Solución

Paso 1.-  Se aplica la fórmula

Paso 2.- Se convierte la la tasa originalmente en por ciento al tanto por uno (como se muestra en la fórmula), y se obtiene para este ejercicio el valor 0.06

Paso 3.- Se hacen las sustituciones:

I = ($ 25000) (0.06) (4 años) = $ 6000

Interpretación:

A una tasa simple del 6 % anual, en cuatro años, un capital de $ 25,000 genera $ 6,000 de intereses 

La fórmula, está construida con cuatro variables. Se puede despejar cualquier si se conocen las las otras tres.   

Ejemplo 2.

En un período de un año, el Banco Monterrey ha depositado en una cuenta de ahorro, por concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés (i) de la cuenta es del 2 %. ¿Cuál es el saldo base de capital de dicha cuenta?

Solución

Aplicamos la fórmula I = C * i * t

Paso 1.- Para el cálculo la tasa del 2 % se expresa en tanto por uno y se obtiene 0.02

Paso 2.- Se conoce el interés generado y se desconoce el Capital (C). Se modifica la igualdad de la fórmula original, dejando C en un lado de la igualad y las restantes variables conocidas en el otro lado de la igualdad.

Paso 3.- Reeemplazamos los valores y despejamos C

C = $ 970 / (0.02)(1 año)

Interpretación
Un saldo medio de capital (C) debe mantenerse en una cuenta durante un período de un año para generar $ 970 en intereses a una tasa del 2 % anual.

Concepto de Interés Compuesto

El interés compuesto es una forma de cálculo del costo o beneficio que se obtiene sobre un capital inicial (Ci) también llamado "principal" durante un período (t) en el cual el interés que se obtiene en períodos específicos de inversión no se retira, sino que se reinvierte con el capital del período previo, para obtener el capital final (Cf) a esto se le denomina capitalización. Esto puede suceder durante varios períodos con lo que, en al final de cada nuevo período se aprovecha el capital inicial más los intereses acumulados en operaciones sucesivas para obtener un resultado de intereses que es mayor al que se obtiene con las formas de cálculo de interés simple.

Para cada período determinado el cálculo será:

Capital final (Cf) = Capital Inicial (Ci) + Interés (I)

Donde Capital Inicial (Ci)= Capital del período previo + interés calculado sobre el mismo para dicho período.

Los intereses calculados bajo este esquema también se denominan "capitalizados" o "con capitalización", se agregan al capital precedente para el cálculo de intereses del siguiente período.

Ejemplo.

Calcular el monto final (Cf) que se obtiene con depósito inicial (Ci) de $ 1 000 000 a u plazo de 5 años a una tasa de interés (i) del 10 % capitalizable anualmente. 

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma, a su vez, sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo período (en este caso años), y así sucesivamente hasta llegar al monto final de varios períodos acumulados.

Resulta simple, pero hay cálculos repetitivos; para evitarlos o abreviarlos se puede usar la fórmula general del interés compuesto.

Para el cálculo de este tipo de intereses el Capital final (Cf)  se obtiene a partir del Capital inicial (Ci) a una tasa de interés (i) en un tiempo (t). Donde Cf = Capital Inicial+ Intereses capitalizados.

Para lo cual se presenta la siguiente fórmula:

Uso de la Fórmula General del Interés Compuesto

Utilizando los mismos datos del ejemplo desarrollado previamente, se presenta el cálculo con al fórmula general de interés compuesto para determinar el monto final (Cf) de un depósito inicial de $ 1 000 000 a 5 años con un interés del 10 % capitalizable anualmente.

Solución con comentarios.

Se observa que, a partir de un capital inicial de $ 1 000 000 al incorporar los intereses generados por año al capital inicial y los precedentes de cada período se acumuló un 

Capital final (Cf) =  $ 1 610 510

también se puede observar que el resultado es similar al del cuadro desarrollado anteriormente.

Fuentes consultadas

Biblioteca Digital (sin año). Capítulo 3. Interés Compuesto.

http://148.206.107.15/biblioteca_digital/capitulos/426-5813txh.pdf

Martínez M.(2013). Mis apuntes de matemáticas financieras. TESOEM.

http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2013.007.pdf

UNAM (sin año). matemáticas Financieras.Unidad 2. Interés Compuesto.

http://ecampus.fca.unam.mx/ebook/imprimibles/informatica/matematicas_financieras/Unidad_2.pdf

Punto de equilibrio financiero

¿Qué entendemos por punto de equilibrio financiero?
Existen muchas definiciones para Punto de Equilibrio. Pero hablando de su interpretación en el mundo de las finanzas este puede ser definido como el nivel de producción (y ventas) mínimo en que una empresa puede operar para cubrir todos sus costos fijos y variables.
El Punto de Equilibrio (PE) es usado comúnmente en las empresas u organizaciones para determinar la posible utilidad (positiva o negativa) al vender un determinado volúmen de un producto (Q) de acuerdos a una estructura de costos (tanto fijos como variables). Para calcular el punto de equilibrio es necesario tener bien identificado el comportamiento de los costos; de otra manera es sumamente difícil determinar la ubicación de este punto.
La combinación de costos fijos como variables confrontada con los ingresos nos permite entender si la empresa está operando por arriba o por abajo del punto de equilibrio.
¿Es posible calcular el punto de equilibrio para empresas de producción y para empresas de venta de servicios?.
La respuesta es sí, pues ambos tipos de empresa tienen costos fijos y en los dos tipos existe un ingreso por unidad ya sea producida o simplemente comercializada.
¿Qué datos se necesitan para su cálculo?
Para que este pueda ser determinado es preciso conocer la relación de costos de la empresa, clasificados debidamente entre costos fijos totales y variables por unidad producida (y/o vendida). También es necesario conocer el precio de venta por unidad vendida.
¿Cómo se calcula?
Es el punto de producción y/o venta (Q) en donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados con la venta de un producto (IT = CT).

Entendiendo que IT representa los ingresos totales, CT los costos totales, P el precio por unidad, Q es la cantidad de unidades producidas y vendidas, CF los costos fijos, y CV los costos variables.

Se interpreta que:
Si el producto puede ser vendido en mayores cantidades de las que determina el punto de equilibrio entonces la empresa percibirá beneficios.
Por el contrario, si se encuentra por debajo del punto de equilibrio, se caerá en pérdidas.
Gráficamente, el punto de equilibrio (PE) ¿cómo se visualiza?

Pasos para su cálculo
1.- Conocer todos los gastos y/o costos
2.- Clasificar los gastos en Fijos y Variables
3.- Sumar por separado los Costos Fijos totales y los costos variables unitarios
4. Conocer el precio de venta por unidad.
5.- Aplicar la fórmula de Punto de Equilibrio (P.E.)

En algunos textos, el denominador de la fórmula también se le denomina margen unitario.
La situación de una empresa mejora cuando se disminuye el punto de equilibrio. Ya que requerirá menor unidades producidas para solventar sus costos.
Una disminución de los Costos Fijos disminuye el punto de equilibrio.
Igualmente un márgen unitario mayor también disminuye el punto de equilibrio. El margen mejora si, aumenta el precio de venta o, disminuye el costo variable unitario.  
Ejemplo resuelto
Con la siguiente información de gastos y costos de la empresa Regiomontana de Muebles, S.A. de C.V., determine el punto de equilibrio. Para la División de Fabricación de Sillas.
Renta de instalaciones: $ 150000
Pago de Seguros anuales: $ 240000
-Pago de Personal
Secretaria Administrativa: $ 10000 mensuales (con impuestos).
Gerente General: $ 80000 (con impuestos).
Intendentes: $16,000
Administrador general: $ 25000
Servicios de seguridad: $ 16000 mensuales (con impuestos).
Servicios de Telefonía: $ 2196 mensuales, Servicios de Electricidad: $ 25000 mensuales, Agua y Drenaje: $ 3000 mensuales, Materiales de Limpieza: $ 2500 mensuales.
Mano de Obra para la producción: $ 10/unidad producida.
Materia Prima (tubería, remaches y soldadura placa de acero, pintura, tela para tapicería, pegamentos, etc.): $ 80/unidad producida,  Mantenimiento de maquinas: $ 3/unidad producida (ponderación), empacado: $ 5/unidad producida, pago a comisionistas-vendedores: $ 10/silla producida y vendida.
Precio de venta por silla: $ 200.
Con la información recolectada se puede construir un cuadro donde se clasifiquen y sumen los costos fijos y variables:

Clasificación de costos			CF		CV
Costos Fijos mensuales
	Renta de instalaciones:		$  15,000.00
	Pago de Seguros (convertido a mes):		$    2,000.00
	Pago de Personal
	Secretaria Administrativa:		$  10,000.00
	Gerente General: $ 80000		$  80,000.00
	Intendentes:		$  16,000.00
	Administrador general:		$  25,000.00
	Servicios de seguridad:		$  16,000.00
	Servicios de:
	Teléfonía		$    2,196.00
	Electricidad		$  25,000.00
	Agua y Drenaje		$    3,000.00
	Materiales de limpieza		$    2,500.00
Costos Variables
	Mano de Obra para la producción: $ 10/unidad producida				$        10.00
	Materia Prima (tubería, remaches, placa de acero, pintura, tela para tapicería, pegamentos, etc.):				$        80.00
	Empacado:				$          5.00
	Mantenimiento programado para maquinaria.				$          3.00
	Comisión por venta:		__________		$        10.00
			$196,696.00		$      108.00

* Nota: Recuerda que se deben ajustar los datos de costos y gastos fijos a unidades de tiempo iguales. Si existen gastos bimestrales o anuales o de otro rango de tiempo, pero, deseamos obtener el punto de equilibrio mensual (muy común como unidad de tiempo), hay que hacer las equivalencias correspondientes

Con los datos conocidos:

Costos Fijos Totales: $ 196,696, Precio de Venta Unitario: $ 200,  Costo Variable Unitario: $ 108

Recuerda que Punto de Equilibrio (P.E.) = Costo Fijo Total / (Precio Venta Unitario - Costo Variable Unitario).

Se aplica la fórmula para Punto de Equilibrio (P.E.) = $196696 / ($ 200 - $108)

Punto de Equilibrio= 2138 unidades

Veamos la gráfica para los parámetros del probema:

 
Comprobación
Para la comprobación, recordemos que en Punto de Equilibrio Ingresos Totales (IT) = Costos Totales

Ingreso Total en Punto de Equilibrio (IT) = (Precio de Venta Unitario) (No. de Unidades en punto de equilibrio)

Costos Totales (CT) = Costos Fijos Totales + Costos Variables Totales. 

Donde Costos Variables Totales es igual a Costos Variables Unitarios x No. de Unidades producidas en Punto de Equilibrio.

Se hacen las sustituciones correspondientes:

Ingreso Total (IT)= ($200) (2138 un.) = $ 427600

Costos Totales (CT) = $196696 + [($108)(2138)] = $ 427600

Como se puede observar ambas cantidades son iguales con lo que podemos decir que el procedimiento fue aplicado correctamente.

Fuentes consultadas:

Martínez M.(2013). Mis apuntes de matemáticas financieras. TESOEM
http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2013.007.pdf

Nacional Financiera (2004) Fundamentos de negocio. Contabilidad. Punto de Equilibrio.
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:4bpDtmqoR70J:www.nafin.com.mx/portalnf/get%Ffile%3D/pdf/herramientas-negocio/contabilidad2_3.pdf+&cd=24&hl=es-419&gl=mx

SE (sin año). Administración financiera-Análisis financiero y punto de equilibrio. Guías empresariales. Secretaría de Economía.
http://contactopyme.gob.mx/guiasempresariales/guas.asp?s=10&gsg=23

Universidad Javeriana (sin año). Análisis de Punto de equilibrio. Universidad Javeriana. Co.
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:-MfNwZV2WkYJ:www.javeriana.edu.co/decisiones/analfin/capitulo4.pdf+&cd=hl=es-419&ct=clnk&gl=mx